偏微分:
出现在多元函数微分法里。
如z=f(x,y)
则z对x的微分,叫做z对x的偏微分(这时,把y视为常量);
z对y的微分,叫做z对y的偏微分(这时,把x视为常量)。
求偏微分,需要先求偏导数。
求偏微分公式:
f=G/(G+G动)。
包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。
方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数,称为该方程的阶。
在数学、物理及工程技术中应用最广泛的,是二阶偏微分方程,习惯上把这些方程称为数学物理方程。
函数(function)的定义通常分为传统定义和近代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A,假设其中的元素为x,对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B,假设B中的元素为y,则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示,函数概念含有三个要素:
定义域A、值域B和对应法则f。
其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
可分为两大分支:解析解法和数值解法。
只有很少一部分偏微分方程能求得解析解,所以实际应用中,多求数值解。
数值解法最常见的有三种:差分法(最普遍最通用)、有限体积法、有限元法,其他数值解法还有:正交配置法、微扰法(可解薛定谔方程)、变分法等等。
可分为两大分支:解析解法和数值解法。
只有很少一部分偏微分方程能求得解析解,所以实际应用中,多求数值解。
数值解法最常见的有三种:差分法(最普遍最通用)、有限体积法、有限元法,其他数值解法还有:正交配置法、微扰法(可解薛定谔方程)、变分法等等。
定义不同
凡含有参数,未知函数和未知函数导数(或微分)的方程,称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶。
解答:
1、dy/dx是函数在x处的变化率;
2、(dy/dx)dx是函数在x处的微分,也就是“变化率dy/dx”乘以“自变量的无穷小变化量dx”,dx是对x的微分,也就是x的无穷小的增量;(dy/dx)dx=dy就是对y的微分了,也就是y的无穷小增量;(dy/dx)dx的整体意思就是,在x处,由于x的无穷小的增量所产生的y的无穷小增量。
这些就是通常所说的微分的概念,也就是常微分的概念。
3、在多元函数中,因为自变量至少有两个,每一个自变量的变化,都会引起函数的变化。
以三元函数u=f(x,y,z)为例,∂u/∂x表示的是由于x的单独变化而引起的函数u的变化率,或者说在x方向上的变化率;∂u/∂y表示的是由于y的单独变化而引起的函数u的变化率,或者说在y方向上的变化率;∂u/∂z表示的是由于z的单独变化而引起的函数u的变化率,或者说在z方向上的变化率。
这里的符号∂,在意义上,完全等同于d,∂x=dx,∂y=dy,∂z=dz,∂u=du。
由于是多元函数,引起函数u变化的因素不止一个,为了表示区别,不用d,而用∂。
4、(∂u/∂x)dx表示的是由于x的单独变化dx,所引起的函数u的变化量,也就是u对x的偏微分;(∂u/∂y)dy表示的是由于y的单独变化dy,所引起的函数u的变化量,也就是u对y的偏微分;(∂u/∂z)dz表示的是由于y的单独变化dz,所引起的函数u的变化量,也就是u对z的偏微分。
5、全微分的概念(TotalDifferentiation):
如果所有变量的变化都考虑进去,所有变量变化所引起的整个函数的变化,则是全微分:
du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy+(∂u/∂z)dz,其中的三个部分是三个偏微分。
欢迎追问。